Counterexamples
Η στρατηγική του Αντιπαραδείγματος είναι η πιο άμεση μέθοδος για να διαψεύσεις έναν ισχυρισμό. Αντί να προσπαθείς να αποδείξεις γιατί κάτι είναι λάθος, απλά βρες ένα παράδειγμα όπου δεν ισχύει!
Σκέψου το έτσι:
Τελείωσες! Ένα παράδειγμα αρκεί για να καταρρίψεις τον ισχυρισμό.
🔑 Πότε να τη διαλέξεις:
⚠️ ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν ο ισχυρισμός λέει "υπάρχει", τότε αντιπαράδειγμα ΔΕΝ αρκεί! Πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κανένα παράδειγμα!
Ένας μαθητής ισχυρίζεται: "Αν \(a^2 = b^2\), τότε \(a = b\) για κάθε πραγματικό \(a, b\)."
Είναι ο ισχυρισμός σωστός; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγμα.
Hint: Υπάρχουν δύο αριθμοί που έχουν το ίδιο τετράγωνο;
Σκέψου: τι συμβαίνει με τους αρνητικούς αριθμούς;
Κλειδί: \(3^2 = 9\), αλλά και \((-3)^2 = 9\)!
Ο ισχυρισμός είναι ΛΑΘΟΣ!
Αντιπαράδειγμα:
Έστω \(a = 3\) και \(b = -3\).
Τότε: \(a^2 = 9\) και \(b^2 = 9\), άρα \(a^2 = b^2\) ✓
Αλλά: \(a = 3 \neq -3 = b\) ✗
Συμπέρασμα: Ο ισχυρισμός είναι ψευδής!
Διόρθωση: Η σωστή πρόταση είναι: "Αν \(a^2 = b^2\), τότε \(a = b\) ή \(a = -b\)".
🔑 Κλειδί: Ένα απλό αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρρίψεις τον ισχυρισμό!
Μια συνάρτηση \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ικανοποιεί:
\[f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}\]
Ένας μαθητής ισχυρίζεται: "Κάθε τέτοια συνάρτηση έχει τη μορφή \(f(x) = cx\) για κάποια σταθερά \(c\)."
Είναι ο ισχυρισμός σωστός; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγμα.
Hint: Ο ισχυρισμός είναι σωστός αν η \(f\) είναι συνεχής.
Μπορείς να σκεφτείς μια μη συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση;
Κλειδί: Χρησιμοποίησε το Αξίωμα Επιλογής!
Ο ισχυρισμός είναι ΛΑΘΟΣ!
Αντιπαράδειγμα (προχωρημένο):
Υπάρχουν μη συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση!
Για παράδειγμα, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση \(f\) ως εξής:
Αυτή η \(f\) ικανοποιεί \(f(x+y) = f(x) + f(y)\), αλλά ΔΕΝ έχει τη μορφή \(f(x) = cx\)!
Διόρθωση: Αν προσθέσουμε την υπόθεση ότι η \(f\) είναι συνεχής, τότε ο ισχυρισμός γίνεται σωστός!
🔑 Κλειδί: Η συνέχεια είναι κρίσιμη για τον ισχυρισμό!
Ένας μαθητής ισχυρίζεται: "Αν ένας γράφος έχει \(n\) κορυφές και κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον \(\frac{n}{2}\), τότε ο γράφος είναι συνεκτικός."
Είναι ο ισχυρισμός σωστός; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγμα.
Hint: Δοκίμασε με \(n = 4\) κορυφές.
Μπορείς να φτιάξεις έναν γράφο όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό 2 (= \(\frac{4}{2}\)), αλλά ο γράφος ΔΕΝ είναι συνεκτικός;
Κλειδί: Σκέψου δύο ξεχωριστά τρίγωνα!
Ο ισχυρισμός είναι ΛΑΘΟΣ!
Αντιπαράδειγμα:
Θεωρούμε γράφο με \(n = 4\) κορυφές: \(A, B, C, D\).
Ακμές: \(AB, AC, BC, CD\) (δηλαδή ένα τρίγωνο \(ABC\) και μια ακμή \(CD\)).
Έλεγχος βαθμού:
Ωπς! Η \(D\) έχει βαθμό 1 < 2. Ας δοκιμάσουμε κάτι άλλο:
Καλύτερο αντιπαράδειγμα:
Δύο ξεχωριστά πλήρη γραφήματα \(K_2\) (δηλαδή δύο ακμές \(AB\) και \(CD\)).
Διόρθωση: Αν κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\), τότε ο γράφος είναι συνεκτικός (Θεώρημα Dirac)!
🔑 Κλειδί: Το αντιπαράδειγμα έδειξε ότι ο ισχυρισμός χρειάζεται διόρθωση!
Ερώτηση: Ποιον τύπο ισχυρισμού μπορεί να καταρρίψει ένα αντιπαράδειγμα;