Invariants
Τα Αναλλοίωτα είναι μία από τις πιο ισχυρές ιδέες στα μαθηματικά! Ένα αναλλοίωτο είναι μια ποσότητα που δεν αλλάζει ενώ κάτι άλλο αλλάζει. Σκέψου το σαν έναν "κρυφό κανόνα" που ελέγχει το σύστημα.
Παραδείγματα αναλλοίωτων:
🔑 Πότε να τη διαλέξεις:
Σε έναν πίνακα γράφουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, ..., 100. Κάθε φορά:
Μετά από 99 τέτοιες πράξεις, μένει ένας αριθμός.
Μπορεί αυτός ο αριθμός να είναι 0;
Hint: Ψάξε για αναλλοίωτο! Τι παραμένει σταθερό σε κάθε βήμα;
Σκέψου: τι συμβαίνει στην ισοτιμία (άρτιος/περιττός) του αθροίσματος;
Κλειδί: Η ισοτιμία του αθροίσματος είναι αναλλοίωτη!
Βήμα 1 - Εντοπισμός αναλλοίωτου:
Ας εξετάσουμε την ισοτιμία (parity) του αθροίσματος όλων των αριθμών στον πίνακα.
Βήμα 2 - Αρχική κατάσταση:
Άθροισμα: \(1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050\) (άρτιο)
Βήμα 3 - Τι συμβαίνει σε κάθε βήμα;
Διαγράφουμε \(a, b\) και γράφουμε \(|a - b|\).
Νέο άθροισμα = Παλιό - \(a\) - \(b\) + \(|a - b|\)
Αν \(a \geq b\): Νέο = Παλιό - \(a\) - \(b\) + \(a - b\) = Παλιό - \(2b\) (αλλαγή κατά άρτιο)
Αν \(b > a\): Νέο = Παλιό - \(a\) - \(b\) + \(b - a\) = Παλιό - \(2a\) (αλλαγή κατά άρτιο)
Και στις δύο περιπτώσεις, το άθροισμα αλλάζει κατά άρτιο αριθμό!
Βήμα 4 - Συμπέρασμα:
Αφού το αρχικό άθροισμα είναι άρτιο (5050) και η ισοτιμία διατηρείται, το τελικό άθροισμα πρέπει να είναι άρτιο.
Αλλά στο τέλος έχουμε μόνο έναν αριθμό, άρα αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι άρτιος!
Απάντηση στην ερώτηση:
Το 0 είναι άρτιος αριθμός, άρα από την ισοτιμία δεν μπορούμε να αποκλείσουμε το 0.
Όμως: Το άθροισμα παραμένει 5050 σε όλη τη διαδικασία! Άρα ο τελικός αριθμός είναι 5050 (mod 2) = 0 (mod 2), δηλαδή άρτιος.
Πράγματι, με προσεκτικότερη ανάλυση, ο τελικός αριθμός μπορεί να είναι 0 ή οποιοσδήποτε άρτιος ≤ 100.
Συμπέρασμα: ΝΑΙ, είναι δυνατόν να είναι 0! ✓
🔑 Κλειδί: Η ισοτιμία του αθροίσματος ήταν το αναλλοίωτο!
Σε μια σκακιέρα \(8 \times 8\), ο ίππος ξεκινάει από την κάτω αριστερή γωνία (λευκό τετράγωνο).
Μπορεί ο ίππος να επισκεφθεί όλα τα τετράγωνα ακριβώς μία φορά και να επιστρέψει στην αρχική θέση;
Hint: Ο ίππος κινείται πάντα από λευκό σε μαύρο και από μαύρο σε λευκό!
Αυτό είναι αναλλοίωτο! Το χρώμα εναλλάσσεται πάντα!
Κλειδί: Πόσα λευκά και πόσα μαύρα τετράγωνα υπάρχουν;
Βήμα 1 - Εντοπισμός αναλλοίωτου:
Ο ίππος κινείται πάντα από χρώμα σε διαφορετικό χρώμα!
Βήμα 2 - Πλήθος τετραγώνων:
Σε σκακιέρα \(8 \times 8\): 32 λευκά + 32 μαύρα = 64 τετράγωνα.
Βήμα 3 - Ανάλυση διαδρομής:
Ο ίππος ξεκινάει από λευκό τετράγωνο.
Αν επισκεφθεί όλα τα 64 τετράγωνα:
Μετά από 64 κινήσεις (περιττός αριθμός από λευκό), ο ίππος θα βρίσκεται σε μαύρο τετράγωνο!
Βήμα 4 - Συμπέρασμα:
Αλλά η αρχική θέση είναι λευκό τετράγωνο!
Άρα δεν μπορεί να επιστρέψει στην αρχική θέση! ✗
Απάντηση: ΟΧΙ, είναι αδύνατο. ✓
🔑 Κλειδί: Το χρώμα του τετραγώνου είναι αναλλοίωτο που εναλλάσσεται!
Γράφουμε στον πίνακα τους αριθμούς \(1, 2, 3, \ldots, n\). Κάθε φορά:
Μετά από \(n-1\) πράξεις μένει ένας αριθμός.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
Hint: Ψάξε για αναλλοίωτο! Τι ποσότητα παραμένει σταθερή;
Σκέψου: τι συμβαίνει στο άθροισμα όλων των αριθμών μείον το πλήθος τους;
Κλειδί: Το \(S - k\) είναι αναλλοίωτο, όπου \(S\) = άθροισμα, \(k\) = πλήθος!
Βήμα 1 - Ψάχνουμε για αναλλοίωτο:
Έστω \(S\) = άθροισμα όλων των αριθμών στον πίνακα.
Έστω \(k\) = πλήθος αριθμών στον πίνακα.
Βήμα 2 - Τι συμβαίνει σε κάθε βήμα;
Πριν: \(S\) (άθροισμα), \(k\) (πλήθος)
Διαγράφουμε \(a, b\), γράφουμε \(a + b - 1\).
Μετά: \(S' = S - a - b + (a + b - 1) = S - 1\)
Μετά: \(k' = k - 2 + 1 = k - 1\)
Βήμα 3 - Αναλλοίωτο:
Υπολογίζουμε: \(S' - k' = (S - 1) - (k - 1) = S - k\)
Άρα \(S - k\) είναι αναλλοίωτο! 🔒
Βήμα 4 - Αρχική τιμή:
\(S_0 = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
\(k_0 = n\)
Αναλλοίωτο: \(I = \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{n(n+1) - 2n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)
Βήμα 5 - Τελική τιμή:
Στο τέλος: \(k_f = 1\), έστω \(S_f = x\) (ο τελικός αριθμός)
Αναλλοίωτο: \(x - 1 = \frac{n(n-1)}{2}\)
\[x = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n(n-1) + 2}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}\]
Απάντηση: Ο τελικός αριθμός είναι \(\frac{n^2 - n + 2}{2}\). ✓
🔑 Κλειδί: Το αναλλοίωτο \(S - k\) μας έδωσε τη λύση!
Ερώτηση: Τι είναι αναλλοίωτο;