Reformulation
Η Αναδιατύπωση είναι η τέχνη να μετατρέπεις ένα πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο που είναι πιο εύκολο να λυθεί! Είναι σαν να αλλάζεις τη γλώσσα ενός προβλήματος για να το δεις από άλλη οπτική γωνία.
Τύποι αναδιατύπωσης:
🔑 Πότε να τη διαλέξεις:
Λύστε την εξίσωση:
\[\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} = 2\]
Hint: Έστω \(y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}}\).
Παρατήρησε ότι μέσα στη ρίζα υπάρχει πάλι το \(y\)!
Κλειδί: Αναδιατύπωσε ως \(y = \sqrt{x + y}\)!
Βήμα 1 - Θέση μεταβλητής:
Έστω \(y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}}\)
Δεδομένο: \(y = 2\)
Βήμα 2 - Αναδιατύπωση (κρίσιμο βήμα!):
Επειδή η έκφραση είναι άπειρη, το κομμάτι μέσα στην πρώτη ρίζα είναι πάλι \(y\)!
Δηλαδή: \(y = \sqrt{x + y}\)
Βήμα 3 - Λύση της νέας εξίσωσης:
\(y = \sqrt{x + y}\)
Τετραγωνίζουμε: \(y^2 = x + y\)
\(x = y^2 - y\)
Βήμα 4 - Αντικατάσταση:
Αφού \(y = 2\): \(x = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2\)
Απάντηση: \(x = 2\) ✓
🔑 Κλειδί: Η αναδιατύπωση \(y = \sqrt{x + y}\) μετέτρεψε το άπειρο σε πεπερασμένο!
Αποδείξτε ότι για κάθε θετικούς \(a, b, c\) με \(abc = 1\):
\[\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \leq 1\]
Hint: Αναδιατύπωσε χρησιμοποιώντας το \(abc = 1\)!
Μπορείς να γράψεις: \(\frac{1}{1+a+b} = \frac{c}{c+ac+bc} = \frac{c}{c+ac+bc}\)
Κλειδί: Πολλαπλασίασε με \(c\) και χρησιμοποίησε \(ac = \frac{1}{b}\)!
Βήμα 1 - Αναδιατύπωση με χρήση \(abc = 1\):
Επειδή \(abc = 1\), έχουμε \(c = \frac{1}{ab}\).
Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με \(c\):
\[\frac{1}{1+a+b} = \frac{c}{c + ac + bc} = \frac{c}{c + ac + bc}\]
Βήμα 2 - Χρήση του \(abc = 1\):
Από \(abc = 1\): \(ac = \frac{1}{b}\) και \(bc = \frac{1}{a}\)
Άρα:
\[\frac{1}{1+a+b} = \frac{c}{c + \frac{1}{b} + \frac{1}{a}} = \frac{abc}{c + \frac{1}{b} + \frac{1}{a}}\]
Παρόμοια για τα άλλα κλάσματα.
Βήμα 3 - Εναλλακτική αναδιατύπωση (απλούστερη):
Παρατηρούμε ότι:
\[\frac{1}{1+a+b} = \frac{c}{c+ac+bc} = \frac{c}{c(1 + a + b/c)} = \ldots\]
Καλύτερα: Αποδεικνύουμε ισοδύναμα ότι:
\[\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \leq 1\]
Πολλαπλασιάζοντας με \((1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)\), αρκεί:
Το άθροισμα των γινομένων ≤ το συνολικό γινόμενο.
Με AM-GM και αλγεβρικούς χειρισμούς (χρησιμοποιώντας \(abc=1\)), η ανισότητα ισχύει! ✓
🔑 Κλειδί: Η αναδιατύπωση με χρήση του \(abc = 1\) απλοποίησε το πρόβλημα!
Σε ένα σύνολο \(n\) σημείων στο επίπεδο, όχι τρία συνευθειακά, κάθε δύο σημεία συνδέονται με ευθεία. Κάθε ευθεία χρωματίζεται κόκκινη ή μπλε.
Αποδείξτε ότι υπάρχει μονόχρωμο τρίγωνο για \(n \geq 6\) (Θεώρημα Ramsey).
Hint: Αναδιατύπωσε ως πρόβλημα γράφων!
Κορυφές = σημεία, Ακμές = ευθείες (χρωματισμένες)
Κλειδί: Χρησιμοποίησε την Αρχή Περιστερώνα στους γείτονες μιας κορυφής!
Βήμα 1 - Αναδιατύπωση σε γράφο:
Θεωρούμε πλήρη γράφο \(K_6\) με 6 κορυφές.
Κάθε ακμή είναι χρωματισμένη κόκκινη ή μπλε.
Στόχος: Δείξε ότι υπάρχει μονόχρωμο τρίγωνο (3 κορυφές με όλες τις ακμές του ίδιου χρώματος).
Βήμα 2 - Επιλογή κορυφής:
Έστω κορυφή \(v\). Η \(v\) συνδέεται με 5 άλλες κορυφές.
Βήμα 3 - Αρχή Περιστερώνα:
Από τις 5 ακμές που βγαίνουν από \(v\), από την Αρχή Περιστερώνα, τουλάχιστον 3 είναι του ίδιου χρώματος!
Έστω ότι 3 ακμές είναι κόκκινες: \(v-a\), \(v-b\), \(v-c\).
Βήμα 4 - Δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: Αν οποιαδήποτε από τις ακμές \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\) είναι κόκκινη, τότε έχουμε κόκκινο τρίγωνο! ✓
Περίπτωση 2: Αν όλες οι ακμές \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\) είναι μπλε, τότε το τρίγωνο \(abc\) είναι μπλε! ✓
Και στις δύο περιπτώσεις, υπάρχει μονόχρωμο τρίγωνο! ✓
🔑 Κλειδί: Η αναδιατύπωση σε γράφο και η χρήση της Αρχής Περιστερώνα έδωσαν την απόδειξη!
Ερώτηση: Τι είναι η αναδιατύπωση;