Auxiliary Construction
Η στρατηγική του Βοηθητικού Αντικειμένου είναι όταν προσθέτεις ένα νέο στοιχείο στο πρόβλημα που δεν υπήρχε στην αρχική εκφώνηση, αλλά σε βοηθάει να φτάσεις στη λύση! Σαν να προσθέτεις ένα εργαλείο που κάνει τη δουλειά πιο εύκολη.
Παραδείγματα βοηθητικών αντικειμένων:
🔑 Πότε να τη διαλέξεις:
Δίνεται τρίγωνο \(ABC\). Χαράσσουμε τη διάμεσο \(AM\) από την κορυφή \(A\) στη μέση \(M\) της πλευράς \(BC\).
Αποδείξτε τον τύπο της διαμέσου:
\[AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}\]
Hint: Χάραξε βοηθητικό παραλληλόγραμμο!
Πρόσθεσε σημείο \(D\) τέτοιο ώστε το \(ABDC\) να είναι παραλληλόγραμμο.
Κλειδί: Η διάμεσος \(AM\) γίνεται η μισή διαγώνιος του παραλληλογράμμου!
Βήμα 1 - Κατασκευή βοηθητικού παραλληλογράμμου:
Προσθέτουμε σημείο \(D\) τέτοιο ώστε \(ABDC\) να είναι παραλληλόγραμμο.
Δηλαδή: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) και \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\).
Βήμα 2 - Ιδιότητες παραλληλογράμμου:
Στο παραλληλόγραμμο \(ABDC\):
Βήμα 3 - Νόμος Παραλληλογράμμου:
Για το παραλληλόγραμμο \(ABDC\) ισχύει ο νόμος των διαγωνίων:
\[AB^2 + AC^2 + AB^2 + AC^2 = BC^2 + AD^2\]
Απλοποιώντας:
\[2AB^2 + 2AC^2 = BC^2 + AD^2\]
Βήμα 4 - Τελικός τύπος:
Άρα: \(AD^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - BC^2\)
Επειδή \(AM = \frac{AD}{2}\), έχουμε \(AM^2 = \frac{AD^2}{4}\):
\[AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}\]
✓ Απόδειξη ολοκληρώθηκε!
🔑 Κλειδί: Το βοηθητικό παραλληλόγραμμο μετέτρεψε τη διάμεσο σε διαγώνιο!
Δίνονται δύο κύκλοι που τέμνονται στα σημεία \(A\) και \(B\). Μια ευθεία διέρχεται από το \(A\) και τέμνει τους κύκλους στα σημεία \(C\) και \(D\).
Αποδείξτε ότι η ευθεία \(BD\) είναι παράλληλη στην εφαπτομένη του πρώτου κύκλου στο \(C\).
Hint: Χάραξε τη χορδή \(AB\)!
Αυτή η χορδή είναι κοινή και στους δύο κύκλους.
Κλειδί: Χρησιμοποίησε εγγεγραμμένες γωνίες και την ιδιότητα της εφαπτομένης!
Βήμα 1 - Βοηθητικό αντικείμενο:
Χαράσσουμε την κοινή χορδή \(AB\) των δύο κύκλων.
Βήμα 2 - Εγγεγραμμένες γωνίες στον πρώτο κύκλο:
Στον πρώτο κύκλο, η γωνία \(\angle ACB\) είναι εγγεγραμμένη στην χορδή \(AB\).
Βήμα 3 - Εγγεγραμμένες γωνίες στον δεύτερο κύκλο:
Στον δεύτερο κύκλο, η γωνία \(\angle ADB\) είναι εγγεγραμμένη στην ίδια χορδή \(AB\).
Βήμα 4 - Ιδιότητα εφαπτομένης:
Η εφαπτομένη στο \(C\) σχηματίζει γωνία με την \(CA\) που ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία \(\angle CBA\).
Βήμα 5 - Σύνδεση:
Επειδή οι εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες (βλέπουν το ίδιο τόξο), οι ευθείες είναι παράλληλες! ✓
🔑 Κλειδί: Η κοινή χορδή \(AB\) ήταν το βοηθητικό στοιχείο που συνέδεσε τα πάντα!
Αποδείξτε ότι κάθε ακέραιος \(n \geq 2\) μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών (Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής).
Hint: Χρησιμοποίησε επαγωγή!
Το βοηθητικό αντικείμενο είναι η υπόθεση επαγωγής - ότι ισχύει για όλους τους μικρότερους αριθμούς!
Κλειδί: Αν ο \(n\) είναι σύνθετος, χώρισέ τον σε \(n = ab\) με \(a, b < n\)!
Βήμα 1 - Βάση επαγωγής:
Για \(n = 2\): Ο 2 είναι πρώτος, άρα γράφεται ως γινόμενο του εαυτού του. ✓
Βήμα 2 - Υπόθεση επαγωγής (βοηθητικό!):
Υποθέτουμε ότι για κάθε ακέραιο \(k\) με \(2 \leq k < n\), ο \(k\) γράφεται ως γινόμενο πρώτων.
Αυτή η υπόθεση είναι το "βοηθητικό αντικείμενο" - την προσθέτουμε στο πρόβλημα!
Βήμα 3 - Επαγωγικό βήμα:
Θέλουμε να δείξουμε ότι ο \(n\) γράφεται ως γινόμενο πρώτων.
Περίπτωση 1: Αν ο \(n\) είναι πρώτος, τελειώσαμε! ✓
Περίπτωση 2: Αν ο \(n\) είναι σύνθετος, τότε \(n = a \cdot b\) όπου \(2 \leq a, b < n\).
Βήμα 4 - Χρήση υπόθεσης επαγωγής:
Από την υπόθεση επαγωγής:
Άρα:
\[n = a \cdot b = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_m\]
Ο \(n\) είναι γινόμενο πρώτων! ✓
🔑 Κλειδί: Η υπόθεση επαγωγής ήταν το βοηθητικό "αντικείμενο" που μας έλειπε!
Ερώτηση: Τι είναι βοηθητικό αντικείμενο;