Reverse Question
Η στρατηγική της Αντίστροφης Ερώτησης είναι όταν αντί να αποδείξεις κάτι απευθείας, αποδεικνύεις το αντίθετο! Ή αντί να ψάξεις "Πώς να το κάνω;", ρωτάς "Πότε δεν μπορώ να το κάνω;"
Τύποι αντίστροφης ερώτησης:
🔑 Πότε να τη διαλέξεις:
Αποδείξτε ότι το \(\sqrt{2}\) είναι άρρητος.
Hint: Αντί "Απόδειξε ότι είναι άρρητος", ρώτα "Τι συμβαίνει αν είναι ρητός;"
Υπόθεσε ότι \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) όπου \(p, q\) ακέραιοι με \(\gcd(p,q) = 1\).
Κλειδί: Αυτό θα οδηγήσει σε άτοπο!
Βήμα 1 - Αντίστροφη ερώτηση:
Αντί "Γιατί είναι άρρητος;", ρωτάμε "Τι συμβαίνει αν είναι ρητός;"
Βήμα 2 - Υπόθεση:
Έστω ότι το \(\sqrt{2}\) είναι ρητός.
Τότε: \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) όπου \(p, q\) ακέραιοι με \(\gcd(p, q) = 1\) (ανάγωγο κλάσμα).
Βήμα 3 - Τετραγωνισμός:
\[2 = \frac{p^2}{q^2}\]
\[2q^2 = p^2\]
Βήμα 4 - Συμπέρασμα:
Άρα \(p^2\) είναι άρτιος → \(p\) είναι άρτιος (αν \(p\) ήταν περιττός, το \(p^2\) θα ήταν περιττό).
Έστω \(p = 2k\). Τότε: \(2q^2 = (2k)^2 = 4k^2\)
\[q^2 = 2k^2\]
Άρα \(q^2\) είναι άρτιος → \(q\) είναι άρτιος!
Βήμα 5 - Άτοπο:
Και τα δύο \(p, q\) είναι άρτια → \(\gcd(p, q) \geq 2\) ✗
Αντίφαση με την υπόθεση ότι \(\gcd(p, q) = 1\)!
Συμπέρασμα: Άρα το \(\sqrt{2}\) είναι άρρητος! ✓
🔑 Κλειδί: Η αντίστροφη ερώτηση "Τι αν ήταν ρητός;" μας έδωσε την απόδειξη!
Σε ένα πάρτι με \(n\) άτομα, αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 άτομα που γνωρίζουν τον ίδιο αριθμό ατόμων.
Hint: Αντίστροφη ερώτηση: "Μπορούν όλα τα άτομα να γνωρίζουν διαφορετικό αριθμό ατόμων;"
Οι δυνατές τιμές είναι: 0, 1, 2, ..., \(n-1\) (συνολικά \(n\) τιμές).
Κλειδί: Αλλά οι τιμές 0 και \(n-1\) δεν μπορούν να συνυπάρχουν!
Βήμα 1 - Αντίστροφη ερώτηση:
Αντί "Γιατί υπάρχουν 2 με τον ίδιο αριθμό;", ρωτάμε: "Μπορούν όλα να έχουν διαφορετικό αριθμό;"
Βήμα 2 - Δυνατές τιμές:
Κάθε άτομο μπορεί να γνωρίζει από 0 έως \(n-1\) άτομα.
Δυνατές τιμές: \(\{0, 1, 2, \ldots, n-1\}\) (συνολικά \(n\) τιμές).
Βήμα 3 - Παρατήρηση:
Αν κάποιος γνωρίζει 0 άτομα, τότε κανένας δεν γνωρίζει \(n-1\) άτομα (γιατί αυτός δεν γνωρίζει κανέναν!).
Αν κάποιος γνωρίζει \(n-1\) άτομα, τότε κανένας δεν γνωρίζει 0 άτομα (γιατί όλοι γνωρίζουν αυτόν!).
Βήμα 4 - Άτοπο:
Άρα οι τιμές 0 και \(n-1\) δεν μπορούν να συνυπάρχουν!
Άρα έχουμε το πολύ \(n-1\) διαθέσιμες τιμές για \(n\) άτομα.
Βήμα 5 - Αρχή Περιστερώνα:
\(n\) άτομα, \(n-1\) τιμές → Τουλάχιστον 2 άτομα έχουν την ίδια τιμή! ✓
🔑 Κλειδί: Η αντίστροφη ερώτηση μας έδειξε ότι δεν μπορούν όλοι να έχουν διαφορετικό!
Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (Θεώρημα Ευκλείδη).
Hint: Αντίστροφη ερώτηση: "Τι συμβαίνει αν υπάρχουν πεπερασμένοι πρώτοι;"
Έστω \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) όλοι οι πρώτοι.
Κλειδί: Κατασκεύασε τον αριθμό \(N = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1\)!
Βήμα 1 - Αντίστροφη ερώτηση:
Αντί "Γιατί υπάρχουν άπειροι πρώτοι;", ρωτάμε: "Τι συμβαίνει αν υπάρχουν πεπερασμένοι πρώτοι;"
Βήμα 2 - Υπόθεση:
Έστω ότι υπάρχουν μόνο \(n\) πρώτοι αριθμοί: \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n\).
Βήμα 3 - Κατασκευή:
Θεωρούμε τον αριθμό:
\[N = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n + 1\]
Βήμα 4 - Ανάλυση:
Ο \(N\) είναι μεγαλύτερος από κάθε \(p_i\), άρα αν είναι πρώτος, έχουμε βρει έναν νέο!
Αν ο \(N\) είναι σύνθετος, τότε διαιρείται από κάποιον πρώτο \(p\).
Βήμα 5 - Άτοπο:
Αλλά αν \(p = p_i\) για κάποιο \(i\), τότε:
\(p_i \mid N\) και \(p_i \mid (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n)\)
Άρα \(p_i \mid (N - p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1\) ✗
Άτοπο! Κανένας από τους \(p_1, \ldots, p_n\) δεν διαιρεί τον \(N\)!
Άρα ο \(N\) είναι πρώτος ή διαιρείται από έναν νέο πρώτο που δεν είναι στη λίστα!
Συμπέρασμα: Αντίφαση! Άρα υπάρχουν άπειροι πρώτοι! ✓
🔑 Κλειδί: Η αντίστροφη ερώτηση "Τι αν ήταν πεπερασμένοι;" μας έδωσε την κλασική απόδειξη!
Ερώτηση: Πότε χρησιμοποιούμε αντίστροφη ερώτηση;